Characterization of certain subgroup of automorphisms for AP group G,which verifies a given property
No Thumbnail Available
Date
2024
Authors
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
Publisher
University of Oum El Bouaghi
Abstract
This dissertation focuses on the study of automorphisms of finite p-groups, where p is a given rational prime. A p-group isa group whoseorderis a power of p.
An automorphism of a p-group G is a bijective homomorphismfrom G to itself. The set of all automorphisms of G,denotedAut(G), forms a group. One way to construct an automorphism of G isthroughconjugation. This innerautomorphism, denoted?g, isdefined as ?g(x) = xg = g?1xg for all x ? G, where g is an element of G. The innerautomorphisms of G form a normal subgroupcalled Inn(G), and the quotient group Out(G) = Aut(G)/Inn(G) iscalled the group of outerautomorphisms of G. Gaschütz'sresult states that the order of Out(G) isalways divisible by p when |G| ? p Berkovichrefinedthisresult by provingthatevery non-abelian p-group G has a non-innerautomorphism of order p. This conjecture has attractedsignificantinterest and has been confirmed for various classes of p-groups.The main problem in the study of automorphisms of p-groups is the lack of knowledge n this area. Understanding the behavior of automorphismsis crucial for understanding the structure of finite groups. The classification of finite simple groups, a major achievement in mathematics, demonstrates the importance of studyingautomorphisms. The dissertation aims to prove the non-inner conjecture for a large class of p-groups satisfying certain properties. weattack the problem for the case ((et G be a non-cyclic (p)-group whichsatisfies the Property (P) Then G has a non-innerautomorphism of order (p) whichcentralizes G/?(G) ))The approachused in the dissertation relies on cohomology and the study of extensionsof discretevaluation rings. The concept of discretevaluation rings arises in the context ofstudyingsplittingautomorphisms, where an abelian p-group A isviewed as a module over aring. The dissertation explores the relationshipbetweendifferentdiscretevaluation rings andtheir modules, providing important insights into the structure of p-.groups
Chapter 2focuses on solving a problemrelated to discretevaluation rings. It exploresthe relationshipbetween the invariants of module structures over different rings. The mainresultisTheorem 2.5, whichprovides a solution to the problem. The chapteralsoconsidersapplications of the results to splittingautomorphisms and the structure of group extensions
Chapter 3presents the main result of the dissertation, Theorem 3.6, whichproves the noninner conjecture for a large class of p-groups. The proof involvescohomologyresults and shedslight on cohomologically trivial modules over p-groups. The chapterconcludeswith discussionson combinatorialproblems and additional applications of the results to the structures of p-group
Cette dissertation se concentre sur l'étude des automorphismes des p-groupes finis, où p est un nombre premier donné. Un p-groupe est un groupe dont l'ordre est une puissance de p. Un automorphisme d'un p-groupe G est un homomorphisme bijectif de G vers lui-même.
L'ensemble de tous les automorphismes de G, noté Aut(G), forme un groupe.
Une façon de construire un automorphisme de G est par conjugaison. Cet automorphisme intérieur, noté ?g, est défini comme ?g(x) = xg = g?1xg pour tout x 2 G, où g est un élément de G. Les automorphismes intérieurs de G forment un sous-groupe normal appelé Inn(G), et le groupe quotient Out(G) = Aut(G)=Inn(G) est appelé le groupe des
automorphismes extérieurs de G.
Le résultat de Gaschütz affirme que l'ordre de Out(G) est toujours divisible par p lorsque jGj ? p. Berkovich a affiné ce résultat en prouvant que tout p-groupe non abélien G a un automorphisme non intérieur d'ordre p. Cette conjecture a suscité un intérêt considérable et a été confirmée pour diverses classes de p-groupes.
Le principal problème dans l'étude des automorphismes des p-groupes est le manque de connaissances dans ce domaine. Comprendre le comportement des automorphismes est crucial pour comprendre la structure des groupes finis. La classification des groupes simples finis, une réalisation majeure en mathématiques, démontre l'importance de l'étude des automorphismes.
La dissertation vise à prouver la conjecture non intérieure pour une grande classe de p-groupes
satisfaisant certaines propriétés. Nous abordons le problème pour le cas suivant :
Soit G un p-groupe non cyclique qui satisfait la propriété (P). Alors G a un automorphisme non intérieur d'ordre p qui centralise G/?(G).
L'approche utilisée dans la dissertation repose sur la cohomologie et l'étude des extensions d'anneaux de valuation discrète. Le concept d'anneaux de valuation discrète apparaît dans le contexte de l'étude des automorphismes de division, où un p-groupe abélien A est vu comme un module sur un anneau. La dissertation explore la relation entre différents anneaux de valuation discrète et leurs modules, fournissant des informations importantes sur la structure
des p-groupes.
Le chapitre 2se concentre sur la résolution d'un problème lié aux anneaux de valuation discrète. Il explore la relation entre les invariants des structures de module sur différents anneaux. Le principal résultat est le théorème 2.5, qui fournit une solution au problème. Le chapitre examine également les applications des résultats aux automorphismes de division et à
la structure des extensions de groupes.
Le chapitre 3présente le principal résultat de la dissertation, le théorème 3.6, qui prouve la conjecture non intérieure pour une grande classe de p-groupes. La preuve implique des résultats de cohomologie et éclaire les modules cohomologiquement triviaux sur les p-groupes.
Le chapitre se conclut par des discussions sur des problèmes combinatoires et des applications supplémentaires des résultats aux structures des p-groupes.
ملخص
تر ّكز هذه الأطروحة على دراسة التحويلات الآلية للمجموعات pالمنتهية، حيث pهو عدد اولي صحيح كيفي
. المجموعة ع هي مجموعة رتبتها هي إحدى قوى ع. التحويل الآلي للمجموعة ع هي متجانسة عرضية من Gإلى نفسها.
للمجموعة -pزمرة هي متجانسة منتهية . مجموعة جميع التشكلات الآلية لمجموعة ,G
ال ُمشار إليها ب ،)Aut(Gتُش ّكل زمرة .
إحدى طرق تكوين التشاكلات من Gنحو نفسها هي من خلال الاقتران. التحويل الآلي الداخلي
المشار إليه بـ
،gيُع َّرف على أنهτg(x) = xg = g-1xgلجميع xمن ، Gحيث gعنصر من عناصر
.Gالتحويلات الآلية الداخلية ل Gتشكل مجموعة فرعية عادية تسمى ،)Inn(Gوالمجموعة الخارجة من القسمة
مجموعة )Out(G) = Aut(G)=Inn(Gتسمى مجموعة الأشكال الآلية الخارجية ل .G
تنص نتيجة غاشوتز على أن رتبة )Out(Gتكون دائ ًما قابلة للقسمة على pعندما تكون .jGj ≥ p
ح ّسن بيركوفيتش هذه النتيجة بإثبات أن كل مجموعة غير إبيليانية من الرتبة pللمجموعة Gلديها
وقد اجتذب هذا التخمين اهتماماً كبيراً وت ّم تأكيده لفئات مختلفة من مجموعات .p
لفئات مختلفة من المجموعات من الرتبة .p
المشكلة الرئيسية في دراسة التحويلات الآلية للمجموعات ع هي نقص المعرفة
في هذا المجال. إ ّن فهم سلوك التحويلات الآلية أمر بالغ الأهمية لفهم بنية
بنية المجموعات المنتهية. إن تصنيف المجموعات البسيطة المنتهية، وهو إنجاز كبير في الرياضيات
الرياضيات، يوضح أهمية دراسة الأشكال الآلية. تهدف الرسالة إلى
إلى إثبات التخمين غير الداخلي لفئة كبيرة من المجموعات -pالمجموعات التي تحقق خصائص معينة.
نهاجم المشكلة للحالة
{{لنفترض أن Gمجموعة غير دورية من الرتبة $ $pوالتي تحقق الخاصية\ .})textbf{(Pإذًا Gلديها تحويل آلي
غير داخلي من الرتبة $ $pالذي يجعلها مركزية.}})
يعتمد النهج المستخدم في الرسالة على علم التوافقات ودراسة امتدادات حلقات التقييم المتقطعة. يظهر مفهوم حلقات التقييم المنفصلة في سياق
دراسة التحويلات الآلية للتقسيمة، حيث يُنظر إلى مجموعة $ $p$-abelian $Aكوحدة على حلقة. تستكشف الأطروحة العلاقة بين حلقات التقييم
المتقطعة المختلفة ووحداتها النمطية، مما يوفر رؤى مهمة في بنية المجموعات $.$p
يركز الفصل الثاني على حل مشكلة تتعلق بحلقات التقييم المتقطعة. وهو يستكشف العلاقة بين متغيرات بنيات المنوال على حلقات مختلفة. والنتيجة
الرئيسية هي النظرية 2.5التي تقدم حلاً للمشكلة. كما يتناول الفصل أي ًضا تطبيقات النتائج على التشكيلات الآلية للتقسيمات وبنية امتدادات
المجموعات.
يعرض الفصل الثالث النتيجة الرئيسية للرسالة، النظرية ،3.6التي تثبت التخمين غير الداخلي لفئة كبيرة من المجموعات التي تبلغ قيمتها $.$p
يتضمن البرهان نتائج علم التوافقات ويلقي الضوء على الوحدات التوافقيّة التوافقيّة التافهة على مجموعات $ .$pويُختتم الفصل بمناقشات حول
المسائل التجميعية وتطبيقات أخرى للنتائج
Description
Keywords
Automorphisms of p-groups; Non-interior automorphisms; Rings of discrete evaluations; Cohomologies of groups; Partitions of positive integer numbers