About inverse problems in partial differential equation
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Date
2024
Authors
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Publisher
University of Oum El Bouaghi
Abstract
This work aims to investigate various inverse nonlinear problems with both integer and fractional orders for parabolic equations with additional information about the solution to the inverse problem in the form of integral conditions type. For the direct problem, the proof is based on the energy inequality method for the uniqueness of the solution and the density of the image of the operator generated by the considered linear problem for the existence. As well as the application of Banach's fixed-point theorem for study of the inverse problem.
Chapter one provides a review of fundamental concepts and necessary tools for this thesis.
Chapter two addresses to the existence and uniqueness of solution for the inverse problem involving a semi-linear equation with supplementary information of integral overdetermination condition type.
Chapter three is devoted to the existence and uniqueness of the solution of an inverse problem for a super-linear parabolic equation with an integral condition, where the nonlinear term is given by |u|^p u. This chapter is more general than the second one.
Chapter four deals with the existence and uniqueness of the solution of an inverse problem for a super linear partial differential equation with a fractional order with integral overdetermination condition.
Finally, the fifth chapter is devoted to the generalization of the previous chapter, where the non-linear term is given by u^p with p>1 where we examine the inverse problem associated with determining the right-hand side of a non linear fractional parabolic equation.
Ce travail vise à étudier divers problèmes inverses non linéaires pour des équations paraboliques d'ordres entiers et fractionnaires, avec des informations supplémentaires sur la solution sous forme de conditions intégrales. Pour le problème direct, la preuve repose sur la méthode de l'inégalité d'énergie pour l'unicité de la solution et sur la densité de l'image de l'opérateur généré par le problème étudié pour l'existence de la solution, ainsi que sur l'application du théorème du point fixe de Banach pour l'étude du problème inverse.
Le premier chapitre commence par un rappel de quelques concepts fondamentaux et des outils nécessaires pour ce travail.
Le deuxième chapitre traite de l'existence et de l'unicité de la solution d'un problème inverse pour une équation parabolique non linéaire d'ordre entier, avec une information supplémentaire sous forme d'une condition intégrale surdéterminée.
Le troisième chapitre examine l'existence et l'unicité de la solution d'un problème inverse pour une équation parabolique non linéaire avec une condition intégrale, où le terme non linéaire est donné par |u|^p u. Ce chapitre est plus général que le deuxième.
Le quatrième chapitre aborde l'existence et l'unicité de la solution d'un problème inverse pour une équation différentielle partielle super-linéaire d'ordre fractionnaire avec une condition supplémentaire de type intégrale.
Enfin, le cinquième chapitre est consacré à la généralisation de l'étude précédente du chapitre quatre, où le terme non linéaire est donné par u^p avec p>1.
يهدف هذا العمل إلى دراسة العديد من المسائل العكسيةللمعادلات التكافئية غير الخطية ذات الرتب الصحيحة والكسرية مع وجود معلومة إضافية من نوع تكامل.
بالنسبة للمسألة المباشرة، يعتمد الإثبات على متراجحة الطاقة لوحدانية الحل وكثافة صورة المؤثر الناتج عن المسألة المدروسة من أجل وجود الحل، بالإضافة إلى تطبيق نظرية النقطة الثابتة لباناخ لدراسة المسألة العكسية.
الفصل الأول نبدأ بالتذكير ببعض المفاهيم الأولية الأساسية والأدوات اللازمة لهذا العمل.
الفصل الثاني يعالج وجود ووحدانية حل مسألة عكسية لمعادلةتكافئيةغير خطية ذات رتبة صحيحة مقرونةبمعلومة إضافية من نوع شرط تكامل.
الفصل الثالث يتناول وجود ووحدانية حل مسألة عكسيةلمعادلةتكافئية غير خطية مع وجود شرط تكامل إضافي
حيثالحد غيرالخطي يعطى بواسطة|u|^p uوهذا الفصل يعتبركتعميم للنتائج السابقة .
الفصل الرابعيدرس وجود ووحدانية حل مسألة عكسية لمعادلة تفاضلية جزئيةغير خطية ذات رتبة كسرية مع وجود شرط إضافي من نوع تكامل.
أخيرا، الفصل الخامس والـذي خصص لتعميم الدراسة السابقة من الفصل الرابع، حيث الحد غيرالخطي يعطى بواسطة.p>1 معu^p
Description
Keywords
Inverse problem; integral condition; fixed-point theorem; energy inequality method; nonlinear parabolic equation; fractional partial differential equation