Control and stability of certain evolution problems (PDEs)
No Thumbnail Available
Date
2024
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
Publisher
University of Oum El Bouaghi
Abstract
The theory of nonlinear KDV, whose discoverers are usually considered to be Korteweg and de Vries, is still a young science, although research in this direction was carried out even in the 19th century, mainly in connection with the problems of gas and hydrodynamics. For example, the work of T. Oh \cite{40}, who observed local well-posedness for problem of coupled KdV-type systems in the periodic/non-periodic cases. Dates back to 1895, the Korteweg-de Vries equation representing the basis of the mathematical description of dynamics of solutions was obtained by \cite{37}. This type of equations describes the propagation of waves on water with small dispersion and small nonlinearity. It serves as a model equation for any physical system with an approximate dispersion. Equations of the KdV or Burgers type play an extremely important role in the theory of nonlinear waves in the study of weakly nonlinear long-wave processes in media with dispersion and (or) dissipation. Below in our thesis, the study of the well-posedness for some non linear (Kdv) type problems in the Gevrey spaces and Bourgain spaces is considered. We first proposed and treated the solution of (Kdv) type equation in Bourgain spaces. Then a coupled periodic (Kdv) system is considered. The last one is for coupled system of (mKdv) type equations on the line. These systems of the KdV equations can be considered with specific physical examples related to plasma physics, gas and hydrodynamics, and radio physics.
La théorie du KDV non linéaire, dont les découvreurs sont généralement considères comme Korteweg et de Vries, est encore une science jeune, bien que des recherches dans ce sens aient été menées même au XIXe siècle, principalement en relation avec les problèmes de gaz et d'hydrodynamique. Par exemple, le travail de T. Oh \cite{40}, qui a observé l'existence local pour le problème des systèmes couples de type KdV dans les cas périodiques/non périodiques. Datant de 1895, l'équation de Korteweg-de Vries représentant la base de la description mathématique de la dynamique des solutions a été obtenue par \cite{37}. Ce type d'équations décrit la propagation des ondes sur l'eau avec une faible dispersion et une faible non linéarité. Il sert d'équation modèle pour tout système physique avec une dispersion approximative. Les équations de type KdV ou Burgers jouent un rôle extrêmement important dans la théorie des ondes non linéaires dans l'étude des processus a ondes longues faiblement non linéaires dans les milieux a dispersion et (ou) dissipation. Ci-dessous dans notre thèse, l'étude du bien-posé pour certains problèmes de type non linéaire (Kdv) dans les espaces de Gevrey et les espaces de Bourgain est considérée. Nous avons d'abord proposé et traité la solution de l’équation de type (Kdv) dans les espaces de Bourgain. Ensuite, un système périodique couplé (Kdv) est considère. La dernière concerne les équations de type système couplé (mKdv) sur la droite. Ces systèmes d'équations KdV peuvent être considères avec des exemples physiques spécifiques liés a la physique des plasmas, aux gaz et a l'hydrodynamique, et a la radio physique.
نظرية المعادلات غير الخطية لـكورتيفيغ ودي فريز، لا تزال علمًا شابًا، على الرغم من أن البحث في هذا الاتجاه تم في القرن التاسع عشر، وذلك بشكل رئيسي فيما يتعلق بمشاكل الغاز والهيدروديناميكا. على سبيل المثال، عمل {40}، الذي لاحظ التماثل المحلي لمشكلة ألانظمة المقترنة في الحالات الدورية/غير الدورية. تعود إلى عام 1895، حيث تم الحصول على معادلة كورتيفيغ-دي فريز التي تمثل أساس الوصف الرياضي لديناميكيات الحلول بواسطة العمل{37}. هذا النوع من المعادلات يصف انتشار الموجات على سطح الماء بتشتت وعدم خطية طفيفين، ويعمل كمعادلة نموذجية لأي نظام فيزيائي يظهر به تشتتًا تقريبيًا.
تلعب معادلات من هذا النوع دورًا مهمًا للغاية في نظرية الموجات غير الخطية في دراسة عمليات الموجات الطويلة غير الخطية الضعيفة في الوسائط ذات التشتت و (أو) التبديد.
في رسالتنا، يتم النظر في دراسة الوضوح لبعض المشاكل غير الخطية من هذا النوع في الفضاءات جيفري وفضاءات بورغان. نقدم أولاً ونعالج حلاً لمعادلة في فضاءات بورغان. ثم ننظر إلى نظام دوري مقترن. النظام الأخير هو من الأنظمة المقترنة من هذا النوع من المعادلات على الخط. يمكن اعتبار هذه الأنظمة مع أمثلة فيزيائية محددة تتعلق بفيزياء البلازما وديناميكا الغاز والسوائل..
Description
Keywords
Well-posedness; Gevrey spaces; Banach fixed point Theorem